$0^\circ \leqq \alpha \leqq 90^\circ,\ 0^\circ \leqq \beta \leqq 90^\circ$について，$\sin \alpha=2 \sin^2 \beta$が成り立つものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos 2 \beta$を$\sin \beta$を用いて表せ．また，$\cos 4 \beta$を$\sin \beta$を用いて表せ．
(2)$\alpha+2 \beta=90^\circ$のとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．
(3)$\alpha+4 \beta=90^\circ$のとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \frac{2(n-1)\pi}{a} \leqq x \leqq \frac{2n \pi}{a} \right)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty A_n$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2 \theta-2 \sin \theta=\frac{1}{2}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<\log_{\frac{1}{4}}(2-x)$を解け．
(3)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(4)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[　]$．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[　]$．

(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[　]$．

$2$つの曲線
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に答えよ．

(1)$a=1,\ d=2$とする．

(i) $n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．
(ii) $\log_{10} \{S_a(1000)\}$の値を求めなさい．
(iii) $10<S_a(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$b_3=\sqrt[5]{4},\ b_7=\sqrt[5]{64}$とする．

(i) $a$と$d$の値を求めなさい．
(ii) $b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．
(iii) $n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい．
\mon[$\tokeishi$] $b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．

(3)自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}$，$v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}$，$y=uv$，$0<a<2\pi$，$d=\pi$とする．

(i) $u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ii) $v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(iii) $y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．

連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\quad -\cos x \leqq y \leqq \sin 2x \]
の表す領域を$D$とする．以下の各問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転したときにできる立体の体積を求めよ．

下の問いに答えよ．

(1)方程式$x \cos x=\sin x$は$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解を$\alpha$とおくとき，$0<x<2\pi$において不等式
\[ \frac{\sin x}{x} \geqq -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}>-\frac{3}{4\pi} \]
が成り立つことを示せ．