以下の問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，
\[ S(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x-a \cos x| \, dx \]
とする．$S(a)$の最小値を求めよ．
(2)$a>2$のとき，$2$曲線$\displaystyle y=\sin 2x,\ y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸で囲まれる図形を考える．この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$直線$\displaystyle y=\frac{1}{a}x+1,\ y=(b+1)x$のなす鋭角を$\theta$とする．

\mon[$①$] $\tan \theta$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$②$] $\tan \theta \leqq 1$となる確率を求めよ．

(2)$xy$平面上で，連立不等式$x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 2x+y \leqq 4$の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$がこの領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{b}{a}x+y$の最大値を$M$とする．

\mon[$①$] $\displaystyle \frac{b}{a} \leqq 2$のとき，$M$を求めよ．
\mon[$②$] $\displaystyle \frac{b}{a}>2$のとき，$M$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$③$] $M$の期待値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$k$を整数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$において，
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．

$n$を自然数とし，$a_n,\ b_n$を次のようにおく．
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．

(1)$a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=4$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AC}$を求めよ．
(2)$\sin \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\sin \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
(5)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．

$0<\theta \leqq \pi$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)$A^n$を求めよ．
(2)$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$S_n=P(A^n-E)$となる行列$P$を求めよ．ここで，$E$は単位行列である．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$のとき，$1+\cos \theta+\cos 2\theta+\cdots +\cos n\theta$を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．