$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\{2 \cos 2x-(3+3 \sqrt{3})\cos x+3 \sqrt{3}+2\}\cos x \]
の最大値・最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．

(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x \sin x}{1-\cos x}$を求めよ．
(2)等式$\displaystyle (x+yi)^2=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$を満たす実数$x,\ y$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(3)すべての実数$x$に対し，$x^3+2x^2+3x+4=a(x-10)^3+b(x-10)^2+c(x-10)+d$となるような定数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．

曲線$C$は媒介変数$\displaystyle t \ \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$によって，$\displaystyle x=\sqrt{\cos t}\cos \frac{t}{2}$，$\displaystyle y=\sqrt{\cos t}\sin \frac{t}{2}$と表される．

(1)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を求めよ．
(2)$x,\ y$の$t$に関する増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ \sin 2x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\cos x>\frac{3}{2} \]

次の問いに答えよ．

(1)区間$-1<x<1$における
\[ f(x)=\log ((1-x)^{1-x}(1+x)^{1+x}) \]
の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における
\[ g(x)=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{3}\cos 3x \]
の最大値，最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$\displaystyle e^{2x}>\frac{x^2}{2}$となることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2 \neq E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．