$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=a \cos x+b$が，
\[ \int_0^\pi f(x) \, dx=\frac{\pi}{4}+\int_0^\pi \{f(x)\}^3 \, dx \]
をみたすとする．このとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．
(2)(1)で求めた関係式をみたす正の数$b$が存在するための$a$の条件を求めよ．

$a>1$とし，$2$つの曲線
\[ \begin{array}{lll}
y=\sqrt{x} & & (x \geqq 0), \\
\displaystyle y=\frac{a^3}{x} & & (x>0)
\end{array} \]
を順に$C_1,\ C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ．

$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{CE}=t$とする．

(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{DAE}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ADE}$の面積が最小になるときの$t$の値とそのときの面積を求めよ．

$\tan 10^\circ=\tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 40^\circ$を示せ．

正の整数$n$に対し，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において$\sin 4nx \geqq \sin x$を満たす$x$の区間の長さの総和を$S_n$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$f(x),\ g(t)$を
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^3-x^2-2x+1 \\
g(t)=\cos 3t-\cos 2t+\cos t
\end{array} \]
とおく．

(1)$2g(t)-1=f(2 \cos t)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$のとき，$2g(\theta)\cos \theta=1+\cos \theta-2g(\theta)$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle 2 \cos \frac{\pi}{7}$は$3$次方程式$f(x)=0$の解であることを示せ．

$n$は自然数とする．

(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
（図は省略）

$a$を実数とし，$x>0$で定義された関数$f(x),\ g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x} \\
g(x)=\sin x+ax
\end{array} \]
このとき$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$x>0$において共有点をちょうど3つ持つような$a$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．