次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int e^{-x}\sin^2 x \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+2 \sqrt{x}} \, dx$を求めよ．

辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=k \ (0<k<1)$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする．ただし，点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta} \, d\theta,\quad b_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta}\cos \theta \, d\theta \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)一般項$b_n$を求めよ．
(2)すべての$n$について，$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

$a$と$b$を正の実数とする．$\displaystyle y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，$\displaystyle y=b \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．このとき，$\sin t$および$\cos t$を$a$と$b$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$a$と$b$で表せ．
(3)$C_1,\ C_2$と直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた領域の面積を$T$とする．このとき，$T=2S$となるための条件を$a$と$b$で表せ．

$f(x)=\sqrt{2}\sin x \cos x+\sin x+\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．

三角関数の極限に関する公式
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
を示すことにより，$\sin x$の導関数が$\cos x$であることを証明せよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$\ell$とし，行列
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta
\end{array} \right) \]
の表す$1$次変換を$f$とする．座標平面上に$2$点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$がある．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき，$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ．
(2)$1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ．さらに等号が成立する場合を調べよ．
(3)$1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0<\theta<\pi)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．

座標平面上に2点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos \theta,\ 1-\sin \theta)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$を$\theta$で表せ．

(2)$\displaystyle \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$を用いて，$\displaystyle \sin \frac{7\pi}{12}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi$における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．