「三角比」について
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公立 会津大学 2014年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．
公立 北九州市立大学 2014年 第1問以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．
(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．
(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．
公立 北九州市立大学 2014年 第2問以下の問いの空欄$[タ]$～$[ノ]$に適する数値，式を記せ．
(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．
(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．
公立 北九州市立大学 2014年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ -2,\ 4)$がある．以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．また，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$s+t+u=1$とする．このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．また，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$s+t+u=1$とする．このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
公立 福岡女子大学 2014年 第2問関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
公立 福岡女子大学 2014年 第2問関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
公立 三重県立看護大学 2014年 第1問次の$(1)$から$(8)$の$[ ]$に適する答えを書きなさい．
(1)点$(2,\ 1)$から$3x-4y=5$までの距離は$[ ]$である．
(2)サイコロを$3$回ふったとき出た目を$a,\ b,\ c$とすると，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$となるときの確率は$[ ]$である．
(3)数列$3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ \cdots$の第$n$項は$[ ]$となる．
(4)正の実数$x,\ y$が$x+y-2=0$を満たすとき，$xy$の値の取り得る範囲は$[ア]<xy \leqq [イ]$となる．
(5)$2x^3-x^2-5x-2=0$を解くと，$x=[ ],\ [ ],\ [ ]$となる．
(6)$\sqrt{11-\sqrt{96}}$の二重根号をはずし，簡単にすると$[ ]$となる．
(7)$2 \sin^2 x-\cos 2x-\cos^2 x=\sin^2 x$を解くと，$x=[ ],\ [ ]$となる．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(8)$\log_3 x-3 \log_x 9=-1$を解くと，$x=[ ],\ [ ]$となる．ただし，$x>0,\ x \neq 1$とする．
(1)点$(2,\ 1)$から$3x-4y=5$までの距離は$[ ]$である．
(2)サイコロを$3$回ふったとき出た目を$a,\ b,\ c$とすると，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$となるときの確率は$[ ]$である．
(3)数列$3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ \cdots$の第$n$項は$[ ]$となる．
(4)正の実数$x,\ y$が$x+y-2=0$を満たすとき，$xy$の値の取り得る範囲は$[ア]<xy \leqq [イ]$となる．
(5)$2x^3-x^2-5x-2=0$を解くと，$x=[ ],\ [ ],\ [ ]$となる．
(6)$\sqrt{11-\sqrt{96}}$の二重根号をはずし，簡単にすると$[ ]$となる．
(7)$2 \sin^2 x-\cos 2x-\cos^2 x=\sin^2 x$を解くと，$x=[ ],\ [ ]$となる．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(8)$\log_3 x-3 \log_x 9=-1$を解くと，$x=[ ],\ [ ]$となる．ただし，$x>0,\ x \neq 1$とする．
公立 島根県立大学 2014年 第2問$\mathrm{AD}=t$（ただし，$t>0$），$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=1$，$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{CDA}={90}^\circ$である四面体$\mathrm{ABCD}$がある．次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．
公立 島根県立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
国立 京都大学 2013年 第4問$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$\displaystyle \cos x+\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$の最大値を求めよ．ただし$\pi>3.1$および$\sqrt{3}>1.7$が成り立つことは証明なしに用いてよい．