さいころを$2$回続けて投げる．出た目の数の積を$A$とし，$B=\sqrt{A}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．

空間の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\cos \theta$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角を求めよ．さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\cos \theta+2 \sin \theta$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．ただし，そのときの$\theta$の値は求めなくてよい．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\cos \theta$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1-\cos \theta$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2$の最小値を求めよ．ただし，そのときの$\theta$の値は求めなくてよい．

以下の問いに答えなさい．

$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする．
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1)$\theta$の値を答えなさい．
(2)$\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3)$(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．

三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある．内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また$\alpha=\angle \mathrm{A}$，$\beta=\angle \mathrm{B}$，$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．

(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．

以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．

(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

$t$は$0<t<1$を満たす実数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$3$つの曲線$C_1:y=\sin x$，$C_2:y=\cos x$，$C_3:y=t \cos x$を考える．

(1)$y$軸と$C_1$，$C_3$で囲まれる部分の面積$S_1$を$t$で表せ．
(2)$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれる部分の面積を$S_2$とおく．$S_1=S_2$となる$t$とそのときの$S_1$の値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle y=-2 \sin \theta \cos \theta+2a(\sin \theta+\cos \theta)-a \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値$M(a)$を求めよ．
(4)$M(a)$の最小値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$x^2+ax+a+8=0$が異なる$2$つの実数解をもち，共に$1$より大きくなるような$a$の範囲を求めよ．
(2)${0}^{\circ} \leqq \theta \leqq {180}^{\circ}$のとき，関数$y=\sin^4 \theta-2 \sin^2 \theta+\cos^4 \theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2)$a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また，
\[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \]
であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して
\[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \]
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \]
また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3)$f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき，
\[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \]
を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．