次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{4}$であるとする．$\cos 2\theta,\ \cos 3\theta$の値を求めよ．
(2)$x$軸に接し，点$(3,\ 4)$を通る円の中心が描く軌跡の方程式を求めよ．
(3)硬貨を$3$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数より多いのは，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目表となる場合と，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目裏となる場合の$2$通りである．硬貨を$5$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数よりも多く，最終的に表が$3$回出る確率を求めよ．

関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．

(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=l$，$\angle \mathrm{BAC}={108}^\circ$である．ただし，$l$は正の定数とする．この三角形の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$となるようにとり，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．

$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$

円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(8,\ 2)$，$\mathrm{D}(8,\ 8)$で与えられている．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が$\mathrm{CD}$の右側で交わるように点$\mathrm{A}$をとる．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{E}$とし，$\tan \angle \mathrm{CDE}=2$のとき，以下の問に答えよ．

(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．

点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．

以下の問に答えよ．

(1)直線$y=5x$と$y=ax$が${45}^\circ$で交わるとき，$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$または$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$である．
(2)$x^2-6x+4=0$の$2$つの解が$\tan \alpha$と$\tan \beta$のとき，$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{[ハヒ] \sqrt{[フ]}}{[ヘ]}$である．
(3)$-\pi \leqq x \leqq \pi$とする．$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2}+x \right)-\sin x$は，$\displaystyle x=\frac{[ホ] \pi}{[マ]}$のとき，最大値$\sqrt{[ミ]}$をとる．

半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$，$\mathrm{BH}=3$，$\mathrm{CH}=2$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$

(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$