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私立 東京薬科大学 2014年 第3問実数$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha,\ \beta$の大きいか等しい方を$\max \{\alpha,\ \beta\}$で表す．例えば，$\max \{1,\ 2\}=2$，$\max \{3,\ 3\}=3$である．$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ x,\ \frac{1}{2}(1-x) \right\}$とすると，
$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{[フ]}{[ヘ]}$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x)$，
$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}<x \leqq 1$のとき \quad $f(x)=x$
である．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$で$f(x)=\max \{\sin x,\ \cos x\}$とすると，
$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ミ]}{[ム]} \pi$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\sin x$，
それ以外の$x$では \quad $f(x)=\cos x$
である．
(3)$f(x)=\max \{2x^2-3x+a,\ -x^2+5x\}$とする．
$0 \leqq x \leqq 1$で$f(x)=2x^2-3x+a$となるのは，$a \geqq [$*$ メ]$のときである．
(4)$a>0$とする．$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ ax,\ \frac{1}{2}(1-ax) \right\}$を考える．このとき，
$\displaystyle I(a)=\int_0^1 f(x) \, dx$を計算すると，
$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[モ]}{[ヤ]}$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( 1+\frac{[$*$ ラ]}{[リ]}a \right)$，
$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}<a$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ル]}{[レ]}a+\frac{[$*$ ロ]}{[ワヲ]a}$
である．
(1)$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ x,\ \frac{1}{2}(1-x) \right\}$とすると，
$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{[フ]}{[ヘ]}$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x)$，
$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}<x \leqq 1$のとき \quad $f(x)=x$
である．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$で$f(x)=\max \{\sin x,\ \cos x\}$とすると，
$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ミ]}{[ム]} \pi$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\sin x$，
それ以外の$x$では \quad $f(x)=\cos x$
である．
(3)$f(x)=\max \{2x^2-3x+a,\ -x^2+5x\}$とする．
$0 \leqq x \leqq 1$で$f(x)=2x^2-3x+a$となるのは，$a \geqq [$*$ メ]$のときである．
(4)$a>0$とする．$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ ax,\ \frac{1}{2}(1-ax) \right\}$を考える．このとき，
$\displaystyle I(a)=\int_0^1 f(x) \, dx$を計算すると，
$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[モ]}{[ヤ]}$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( 1+\frac{[$*$ ラ]}{[リ]}a \right)$，
$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}<a$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ル]}{[レ]}a+\frac{[$*$ ロ]}{[ワヲ]a}$
である．
私立 東京薬科大学 2014年 第4問中心$\mathrm{O}$，半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている．$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．
(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．
私立 東京女子大学 2014年 第1問四角形$\mathrm{OABC}$において三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{O}$を中心とする円に内接している．$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=3$，$\mathrm{BC}=2$のとき以下の設問に答えよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(2)$\mathrm{OA}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(2)$\mathrm{OA}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．
私立 玉川大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=1$，$\mathrm{BC}=l$とする．$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり線分$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{ABC}$の面積を二等分するように引く．次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$の長さの積$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の大きさを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$を$l$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる線分$\mathrm{AP}$および線分$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$で表せ．
(1)線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$の長さの積$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の大きさを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$を$l$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる線分$\mathrm{AP}$および線分$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$で表せ．
私立 玉川大学 2014年 第2問$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
私立 名城大学 2014年 第1問次の問について，答えを$[ ]$に記入せよ．
(1)$\displaystyle \tan 2\alpha=\frac{1}{2}$かつ$\tan \alpha>0$のとき，$\tan \alpha=[ア]$であり，また$\tan 3\alpha=[イ]$である．
(2)$r>0$に対し，中心$(-2,\ 7)$，半径$r^2+3r+4$の円$C_1$と中心$(3,\ -5)$，半径$2r^2+7r+1$の円$C_2$を考える．$C_1$と$C_2$がちょうど$3$本の共通接線をもつとき$r=[ウ]$であり，$C_1$と$C_2$が平行な共通接線をもつとき$r=[エ]$である．
(1)$\displaystyle \tan 2\alpha=\frac{1}{2}$かつ$\tan \alpha>0$のとき，$\tan \alpha=[ア]$であり，また$\tan 3\alpha=[イ]$である．
(2)$r>0$に対し，中心$(-2,\ 7)$，半径$r^2+3r+4$の円$C_1$と中心$(3,\ -5)$，半径$2r^2+7r+1$の円$C_2$を考える．$C_1$と$C_2$がちょうど$3$本の共通接線をもつとき$r=[ウ]$であり，$C_1$と$C_2$が平行な共通接線をもつとき$r=[エ]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．
(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．
(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．
(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．
(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の空欄$[$19$]$～$[$42$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$19$]$，$[$21$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．
(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．
(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$38$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．