「三角比」について
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私立 近畿大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
私立 産業医科大学 2014年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．
(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．
私立 近畿大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．
(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．
私立 愛知工業大学 2014年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos \alpha}{\alpha^2}$を求めよ．
(2)$\alpha$を$0$でない実数とするとき，定積分$\displaystyle \int_0^2 (x+1) \cos (\alpha x) \, dx$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた定積分の値を$I(\alpha)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0}I(\alpha)$を求めよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos \alpha}{\alpha^2}$を求めよ．
(2)$\alpha$を$0$でない実数とするとき，定積分$\displaystyle \int_0^2 (x+1) \cos (\alpha x) \, dx$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた定積分の値を$I(\alpha)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0}I(\alpha)$を求めよ．
私立 京都薬科大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[ク]$～$[サ]$には整数を記入しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．
(2)直線$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，さらに点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\mathrm{OC}:\mathrm{CP}=3:1$となるならば，$\cos \theta=[オ]$である．
(3)辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{OD}:\mathrm{DB}=1:3$となるようにとる．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$，$\triangle \mathrm{QAC}$，$\triangle \mathrm{OQD}$および四角形$\mathrm{QCBD}$の面積をそれぞれ，$S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$とすると，$S_1:S_2:S_3:S_4=[ク]:[ケ]:[コ]:[サ]$となる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．
(2)直線$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，さらに点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\mathrm{OC}:\mathrm{CP}=3:1$となるならば，$\cos \theta=[オ]$である．
(3)辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{OD}:\mathrm{DB}=1:3$となるようにとる．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．このとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$，$\triangle \mathrm{QAC}$，$\triangle \mathrm{OQD}$および四角形$\mathrm{QCBD}$の面積をそれぞれ，$S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$とすると，$S_1:S_2:S_3:S_4=[ク]:[ケ]:[コ]:[サ]$となる．
私立 金沢工業大学 2014年 第6問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える．$C$上の点で，第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．
私立 大阪薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．