四面体$\mathrm{ABPQ}$は$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=3$，$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=2 \sqrt{2}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{12}{5}$，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たすとする．点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．

(1)線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{PHQ}$の大きさを$\theta$とする．$\sin \theta$の値を求めよ．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直であることを証明せよ．
(4)四面体$\mathrm{ABPQ}$の体積を求めよ．

関数$f(x)=e^{-\sqrt{3}x}(1-\cos x)$を考える．自然数$n$に対し，区間$2(n-1) \pi \leqq x \leqq 2n \pi$における関数$f(x)$の最大値を$A_n$とする．

(1)$A_1$を求めよ．
(2)自然数$n$に対し，$A_n$を$n$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n$の和を求めよ．

実数の定数$a,\ b$に対し，関数$f(x)=\sin^2 2x-a(4 \cos^2 x-\cos 2x-2)+b$が与えられている．

(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対して，関係式
\[ \frac{x^2}{(\cos \theta+2)^2}+\frac{y^2}{(\sin \theta+3)^2}=1 \]
を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta)$とする．

(1)$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \mathrm{P}(\theta) \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の軌跡の方程式を求めよ．

実数の定数$a,\ b$に対し，関数$f(x)=\sin^2 2x-a(4 \cos^2 x-\cos 2x-2)+b$が与えられている．

(1)$t=\cos 2x$として$f(x)$を$t,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)すべての実数$x$に対して不等式$-1 \leqq f(x) \leqq 3$が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$0<x<2\pi$のとき，$y=2 \sin x$のグラフと$y=a-\cos 2x$のグラフが接するように定数$a$の値を定め，そのときの$2$つのグラフをかけ．ただし，$2$つのグラフがある共有点で共通の接線をもつとき，これらのグラフは接するという．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) (0 \leqq t<2\pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

$r,\ s$は実数で，$r>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(r,\ r,\ r)$がある．さらに，点$\mathrm{E}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．
(3)$(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．