次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．関数
\[ y=2 \sin 2\theta-2 \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)+2 \]
について，$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．また，$y$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y<1 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x-x \cos x}{\displaystyle\frac{2}{\pi}-\cos x}$，$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\pi$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)>0$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<f(x)<\pi$を示せ．
(4)$f(x)<g(x)$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ．また，$\sin 8\theta$の値を求めよ．
(2)$t=\cos \theta$とおく．関数$\displaystyle y=-\frac{8}{9} \sin^2 \frac{\theta}{2}-\frac{4}{9} \sin^2 \theta+\frac{1}{2}$を$t$の関数として表せ．
(3)$(2)$の関数$y$の$0 \leqq \theta<2\pi$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{M}$，$\angle \mathrm{AOM}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{OM}=s$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく．$(2)$の仮定のもとで，さらに$x^2+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式が成り立つような$\cos \theta$，$\sin \theta$，$a$，$b$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ A \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
(2)$n$を正の整数とするとき，$A^n+(A^{-1})^n$を求めよ．
(3)$A=B^2$となる行列$B$をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．

(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．

(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]

$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，$1:t$に内分する点を$\mathrm{N}$としたとき，$\angle \mathrm{AOB}=3 \angle \mathrm{AOM}$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \mathrm{ON}=\frac{1-t}{t}$であることを証明せよ．
(2)$x=\cos \angle \mathrm{AOB}$，$y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x,\ y$を$t$を用いて表せ．
(3)$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

$f(x)=3 \sin x$，$g(x)=x(2+\cos x)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x<\pi$のとき，$0<f(x)<g(x)$が成り立つことを証明せよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$x=\pi$によって囲まれた図形の面積を求めよ．