「三角比」について
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国立 宮城教育大学 2014年 第4問関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第5問曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle C_2:y=\cos x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$について，次の問に答えよ．
(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とするとき，$\sin a$の値を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とするとき，$\sin a$の値を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2014年 第4問$\displaystyle y=f(x)=\tan x \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},\ -\infty<y<\infty \right)$の逆関数を$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\tan^{-1}x \left( -\infty<x<\infty,\ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．
(ii) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．
(2)次の問に答えよ．
(i) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $(ⅰ)$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(iii) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．
(ii) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．
(2)次の問に答えよ．
(i) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $(ⅰ)$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(iii) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第1問$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2014年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[ ]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[ ]$．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[ ]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[ ]$．
国立 小樽商科大学 2014年 第5問$2$つの曲線$K_1:y=\sin x$と$K_2:y=-\cos x+a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$K_1$と$K_2$が接するとき，接点の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$y$軸と$K_1$，$K_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$K_1$と$K_2$が接するとき，接点の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$y$軸と$K_1$，$K_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．