関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．

(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．

実数$a$に対して，下の$4$つの条件$p,\ q,\ r,\ s$を考える．ただし，実数$k$に対して，$[k]$は$k$以下の最大の整数を表し，$\langle k \rangle$は$k$以上の最小の整数を表すとする．たとえば，$k=2.15$のとき，$[k]=2$であり，$\langle k \rangle=3$である．また，$|k|$は$k$の絶対値を表す．

$p:x^2+4x+a^2=0$を満たす実数$x$が存在する．
$q:[a]<\langle a \rangle$
$\displaystyle r:|a-1.5|<\frac{1}{|a-1.5|+1.5}$
$\displaystyle s:0<a<\pi$，かつ，$\displaystyle \sin \left( 2a-\frac{\pi}{4} \right)+\sin \left( 2a+\frac{\pi}{4} \right)=0$

上の$p,\ q,\ r,\ s$それぞれについて，条件を満たす$a$の範囲を求めよ．さらに，以下の$①$，$②$，$③$それぞれについて，$p,\ q,\ r,\ s$の中から，あてはまるものを全て答えよ．

$①$ $p$であるための十分条件である．
$②$ $q$であるための十分条件である．
$③$ $r$であるための十分条件である．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．

$\alpha,\ \beta$は正の実数とする．次の条件によって定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の問に答えよ．

$a_1=\alpha,\quad b_1=\beta,$
$a_{n+1}=\alpha a_n-\beta b_n,\quad b_{n+1}=\beta a_n+\alpha b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(1)$\alpha^2+\beta^2 \leqq 1$が成り立つならば，任意の自然数$n$に対して${a_n}^2+{b_n}^2 \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha=\cos \theta,\ \beta=\sin \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表されているとき，$a_2$，$b_2$，$a_3$，$b_3$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$a_{12}=1$，$b_{12}=0$となるような正の実数の組$(\alpha,\ \beta)$を全て求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$を$\sin x$と$\cos x$を用いて表せ．
(2)$f(x)=\sin^3 x$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} e^{3x} \sin^2 x \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right) \, dx$を求めよ．

$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(2 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\mathrm{Q}(\sin 2t,\ \cos 2t)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PQ}^2$を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PQ}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(\cos t,\ 0)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{Q}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)$，$\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),\ y(t))$の軌跡を求めよ．

点$\mathrm{P}_0$を$xy$平面の原点とし，点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\cdots$を次のように定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n-1}$を中心として点$\mathrm{P}_n$を反時計回りに$\theta (0<\theta<\pi)$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{P}_{n+1}$を$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，

$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$

$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$

が成り立つことを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，

$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$

$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$

が成り立つことを示せ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき，$x_n$および$y_n$を求めよ．
(4)すべての点$\mathrm{P}_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で方程式$\cos 2x-\cos x=0$の解を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で$2$つの曲線$y=\cos 2x$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．