$a,\ b,\ c,\ d$は$a+d=0$，$ad-bc=1$をみたす実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$A^2=-E$を示せ．
(2)$p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする．実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき，$x,\ y$を$p,\ q$で表せ．
(3)$\theta$を実数とする．すべての正の整数$n$に対して
\[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す．

次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$

曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{4}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\ \sin 2a)$における接線$\ell_1$と点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}-a,\ \sin 2 \left( \frac{\pi}{2}-a \right) \right)$における接線$\ell_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\theta$を媒介変数として，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=1-\cos \theta
\end{array} \right. \]
で表される曲線の$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=e^{-x}+1$，$y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$(2)$の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(4)$(3)$で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{e^x},\ g(x)=\frac{\cos x}{e^x}$とする．

(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin x+2 \cos 2x+1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |f(x)| \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．

(1)$y=f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．

(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．