$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} |\sin \theta| \, d\theta$とおく．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\cos x+\cos y \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y}{2}=\frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)$\cos x+\cos y+\cos z \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y,\ z$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y+z}{3}=\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\cos x+\cos y+\cos z} \]
は成り立つか．成り立つときは証明し，成り立たないときは反例を挙げよ．

二つの関数$f(x)=x \sin x$，$g(x)=\sqrt{3}x \cos x$について次の問いに答えよ．ただし，$(3)$と$(4)$において，$a$および$h(x)$は$(2)$で定めたものとする．

(1)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x \leqq \pi$であるものをすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq a$のとき，$h(x) \geqq g(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)$，および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$とするとき，次の等式が成り立つとする．
\[ \frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{3} \]
また，$A,\ B,\ C$のうち最も大きな角は$120^\circ$であるとする．このとき，$\cos A$，$\cos B$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

$n,\ m$を$0$以上の整数とし，
\[ I_{n,m}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta \sin^m \theta \, d\theta \]
とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．
(2)次の式
\[ I_{2n+1,2m+1}=\frac{1}{2} \int_0^1 x^n(1-x)^m \, dx \]
を示せ．
(3)次の式
\[ \frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+\cdots +(-1)^m \frac{\comb{m}{m}}{n+m+1} \]
を示せ．ただし$0!=1$とする．

関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2 \cos x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．

(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

実数$x,\ y$に対して
\[ A=2 \sin x+\sin y,\quad B=2 \cos x+\cos y \]
とおく．

(1)$\cos (x-y)$を$A,\ B$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$が$A=1$を満たしながら変化するとき，$B$の最大値と最小値，およびそのときの$\sin x$，$\cos x$の値を求めよ．

整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ((2n+1)x)}{\sin x} \, dx \]
とする．

(1)$I_0$を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$I_n-I_{n-1}$を求めよ．
(3)$I_5$を求めよ．