次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \cos (x^2) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<1$のとき，不等式
\[ \left( \frac{x+1}{2} \right)^{x+1}<x^x \]
が成り立つことを示せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は，条件$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$，$\mathrm{BC}=1$を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．

$0^\circ \leqq \theta<90^\circ$とする．$x$についての$4$次方程式
\[ \{x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1\}\{ x^2+2(\tan \theta)x+3\}=0 \]
は虚数解を少なくとも$1$つ持つことを示せ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=8$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{BC}$上にあり，$\angle \mathrm{BAP}=\theta$，$\angle \mathrm{PAC}=2\theta$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{7}{8}$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos x+\sin x} \, dx$，$\displaystyle J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\cos x+\sin x} \, dx$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおいて置換積分法を用いることで，$I=J$を示せ．
(2)$I+J$の値を求めよ．
(3)$I$と$J$の値を求めよ．

$xy$平面上で，媒介変数$\theta$により
\[ x=\sqrt{\cos 2\theta} \cos \theta,\quad y=\sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \quad \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を$(p,\ q)$とする．$(p,\ q)$を求めよ．
(2)曲線$C$で囲まれた図形のうち$x \geqq p$の部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(1)$で求めた$x$座標である．

鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A$，$B$，$C$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，外心を$\mathrm{O}$とし，外接円の半径を$R$とする．

(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \]
を証明せよ．
(2)$\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \]
を証明せよ．

$\alpha$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

直角三角形でない三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対応する角の大きさを$A$，$B$，$C$で表すことにする．このとき，次の$3$つの等式が成り立つことを証明せよ．

(1)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}=1-\frac{1}{\tan B \tan C}$

(2)$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$

(3)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{H}^\prime$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．