$a>1$，$b>0$，$c>0$，$f(t)=a^{-bt}$とする．点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として$x=f(t) \cos t$，$y=f(t) \sin t$のように表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$について微分せよ．
(2)$t=0$から$t=c$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$l$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$l$について，$\displaystyle L=\lim_{c \to \infty} l$を$a,\ b$で表せ．
(4)$t=0$から$t=d$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のりが，$(3)$で求めた$L$の$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．$a=2$，$b=5$であるとき$d$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin \frac{2}{5} \pi=\sin \frac{3}{5} \pi$が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle a=\frac{\sin 2\theta}{\sin \theta},\ b=\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$とおく．$\cos \theta=t$とするとき，$a$と$b$をそれぞれ$t$の整式として表せ．ただし，$0<\theta<\pi$とする．

(3)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5}$の値を求めよ．

$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

次の定積分の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x}$

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^4 x}$

次の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{9}+\cos \frac{4\pi}{9}+\cos \frac{8\pi}{9}$
(2)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9}$

次の問いに答えよ．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．

(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．

(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．