以下の問いに答えなさい．

(1)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int e^{-2x} \cos 2x \, dx \]
(2)$n$を正の整数とする．曲線
\[ y=e^{-x} \sin x \quad ((n-1) \pi \leqq x \leqq n\pi) \]
と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V_n$を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$V_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_{2n-1}=V_1+V_3+V_5+\cdots$を求めなさい．

関数
\[ f(x)=\sqrt{2} \sin x-\sqrt{2} \cos x-\sin 2x \]
に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle t=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表しなさい．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=a$が$0 \leqq x<2\pi$の範囲で相異なる$2$つの解をもつための実数$a$の条件を求めなさい．

関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x$，$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x),\ g(x)$の不定積分を$\displaystyle I=\int f(x) \, dx$，$\displaystyle J=\int g(x) \, dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1) \pi \leqq x \leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，および$2$直線$x=(k-1) \pi$，$x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)$S_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)正弦，余弦に関する加法定理
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を用いて等式
\[ \sin 3x=3 \sin x-4 \sin^3 x \]
を証明せよ．
(2)関数$y=\sin 3x+3 \cos 2x+6 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$が成り立つことを示せ．
(2)方程式$8x^3-6x+1=0$が$\displaystyle \sin \frac{\pi}{18}$を解にもつことを示せ．
(3)方程式$8x^3-6x+1=0$のすべての解が実数であることを示せ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$\alpha,\ \beta$は定数で，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_{\tan \alpha}^{\tan \beta} f(x) \, dx$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{3+4 \cos^2 t} \, dt$を求めよ．

$f(x)=\sin^3 x+\cos^3 x-3 \sin x \cos x$の最大値と最小値を求めよ．

次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x-\sin (\tan x)}{x-\tan x} \]

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$の範囲で，曲線$y=\cos x$と曲線$y=\cos 2x$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする．命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a \leqq b$とする．
(5)$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ．
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ．
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．