$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 4 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2}+\pi \right)>3$を満たす$\theta$の値の範囲は，
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \pi <\theta< \frac{[キ]}{[ク]} \pi \]
である．

辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行な台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=5$とする．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(2)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$\displaystyle \frac{[サシ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$である．

角$\theta$は鈍角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$のとき，$\displaystyle \frac{6 \tan \theta+5}{5 \cos \theta+2}$の値は$[ヒ]$である．

$\cos 2,\ \cos 4,\ \cos 6$の値を大きい順に並べると，
\[ \cos [ナ]>\cos [ニ]>\cos [ヌ] \]
となる．

下の図について，次の値を求めよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{AB}=[　],\ \mathrm{BC}=[　]$
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$=[　]$
(3)$\mathrm{CH}=[　]$
(4)$\sin {105}^\circ=[　],\ \cos {105}^\circ=[　]$

次の問いに答えよ．

(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[　]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[　]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$(a-1)x^2+2(a+1)x+a+2=0$が重解をもつとき，定数$a$の値とその重解を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$で，$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4}$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$x,\ y$が$x^2+y^2=4$を満たすとき，$2x+y^2$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{CD}$上の点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{MF}$と$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{AFM}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AP}:\mathrm{PN}=20:13$のとき，$\mathrm{CN}:\mathrm{ND}$を求めよ．