「三角比」について
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私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第3問辺$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．いま，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\mathrm{AC}=1$であるとする．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．点$\mathrm{D}$を通る$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(4)$\sin {15}^\circ,\ \cos {15}^\circ$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(4)$\sin {15}^\circ,\ \cos {15}^\circ$の値を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=5$であるとする．$\mathrm{E}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，$\angle \mathrm{CED}=\theta$とおく．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
私立 日本女子大学 2015年 第1問$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=\sin 2\theta-\sin \theta-\cos \theta$について，以下の問いに答えよ．
(1)$x=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表せ．
(2)$y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$x=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表せ．
(2)$y$の最大値と最小値を求めよ．
私立 日本女子大学 2015年 第1問$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=\cos 2x+4a \sin x-2a \]
の最大値および最小値を求めよ．
\[ f(x)=\cos 2x+4a \sin x-2a \]
の最大値および最小値を求めよ．
私立 日本獣医生命科学大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=x$，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=2 \sqrt{3}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．
(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．
私立 西南学院大学 2015年 第2問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
私立 西南学院大学 2015年 第3問$k$は実数の定数とする．$0 \leqq x<2\pi$のとき，$x$の方程式
\[ \cos x-\sin^2 x+1-\frac{k}{4}=0 \]
について，以下の問に答えよ．
(1)方程式が解をもつのは，$k$が$[ソタ] \leqq k \leqq [チ]$のときである．
(2)$k=3$のとき，方程式の解は小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]} \pi,\ \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
(3)$-1<k<0$のとき，方程式の解の個数は$[ニ]$個である．
\[ \cos x-\sin^2 x+1-\frac{k}{4}=0 \]
について，以下の問に答えよ．
(1)方程式が解をもつのは，$k$が$[ソタ] \leqq k \leqq [チ]$のときである．
(2)$k=3$のとき，方程式の解は小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]} \pi,\ \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
(3)$-1<k<0$のとき，方程式の解の個数は$[ニ]$個である．
私立 京都産業大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=e^{-x} \sin x$と$g(x)=e^{-x} \cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(3)$k$を$0$以上の整数とする．定積分$\displaystyle \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を$k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=e^{-x} \sin x$と$g(x)=e^{-x} \cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(3)$k$を$0$以上の整数とする．定積分$\displaystyle \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を$k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．