次の$[　]$にあてはまるものを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を入れなさい．

(1)$2015$を素因数分解したとき，最も大きい因子は$[ア]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$（ただし，$a_0=1$，$a_1=1$）で表される数列の第$5$項は$[イ]$である．
(3)$\cos 2x-3 \cos x-1=0 (0 \leqq x<\pi)$の解は$[ウ]$である．
(4)$\log_2 (x-2)=\log_4 (-2x+a)$が解を持つ最小の整数$a$は$[エ]$である．

$\triangle \mathrm{AOB}$の頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{AB}=c$（ただし，$a<b$），$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\displaystyle \mathrm{OD}=\mathrm{OE}=\frac{a}{4}$となるようにとる．以下の問に答えよ．

(1)$\cos (\angle \mathrm{AOB})$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$となるように点$\mathrm{F}$をとる．$\mathrm{OF}$の延長と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を使って表せ．
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AH}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を使って表せ．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$a,\ b$に関する条件「$a>2$かつ$b \leqq 1$」の否定であるものを次のア～エのうちからひとつ選び，その記号を$[$\mathrm{A]$}$に書きなさい．ただし，該当するものがない場合は「該当なし」と書きなさい．

ア：「$a>2$または$b \leqq 1$」 \qquad イ：「$a \leqq 2$または$b>1$」
ウ：「$a<2$または$b \geqq 1$」 \qquad エ：「$a \leqq 2$かつ$b>1$」

(2)$x$についての整式$P(x)=x^3+kx^2+x+2$を$x-3$で割った余りが$k$となるような定数$k$の値は$k=[$\mathrm{B]$}$である．
(3)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$で，$\tan \alpha=3$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2 \alpha +\frac{\pi}{3} \right)$の値を$c$とすると，$c=[$\mathrm{C]$}$である．
(4)正の実数$x,\ y$が，$x^2+4y=1$を満たすとき，$2 \log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値を$d$とすると，$d=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$t$を実数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=6$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=9$であるとき，$|(1-2t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値を$[あ]$で求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．

(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．

$f(x)=4x^3-3x+c$とする．

(1)$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$c=\sin 3\theta (-{30}^\circ<\theta<{30}^\circ)$とする．このとき$f(x)=0$の$3$つの解を$a \cos \theta+b \sin \theta$の形で表せ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)曲線$C:y=x(x-1)(x+a)$上の点$(1,\ 0)$における接線が$C$自身と$x=3$において共有点をもつ．このとき，定数$a$の値を求めよ．
(5)曲線$C:y=|x^2-4|$と直線$\ell:y=2x+4$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3} \left( 0<\theta<\frac{3}{4} \pi \right)$であるとする．

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta-\cos^3 \theta=\frac{[ウエ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コサ]}$である．

(3)$\displaystyle \tan \theta=\frac{[シ]+\sqrt{[スセ]}}{[ソ]}$である．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=4 \cos^2 \frac{\theta}{2}-\cos 2\theta+1$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$A,\ B,\ C$に対して，$\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7$であるとき，$\tan A=[テ]$であり，角$C$の大きさをラジアンで求めると$C=[ト]$である．