定積分$\displaystyle \frac{35}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x \, dx$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．

(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．

(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．

(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，

(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．

(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，

(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$3 \sin \theta+\cos \theta=1$を満たす$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると
\[ F=[$1$][$2$] \sin B+[$3$][$4$] \sin D \]
が成り立つ．余弦定理を用いれば
\[ F^2=[$5$][$6$][$7$]-[$8$][$9$][$10$] \cos (B+D) \]
を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値
\[ 6 \sqrt{[$11$][$12$]} \]
をとる．
(2)辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$[$13$] \sqrt{[$14$]}\pi$である．

実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする．$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，

$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である．

次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．

(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[　]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{CD}$の$3$等分点のうち$\mathrm{C}$に近い方を$\mathrm{F}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{G}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{EAB}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{AGFD}$の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，

$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$

である．
(3)$a>1$とする．数列

$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群

において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．

\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．

$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．

\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．

$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．

\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．

$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．


\begin{screen}
選択肢：

\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}

\end{screen}