次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．

$a>0$とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-a \cos x+\frac{1}{2}a^2 \cos 2x \qquad (-\pi<x<\pi) \]
と定める．

(1)$f(x)$の最小値は，$a \leqq [ア]$のとき$[イ]$であり，$a \geqq [ア]$のとき$[ウ]$である．ただし，$[ア]$には数，$[イ]$と$[ウ]$には$a$の多項式を記入すること．
(2)曲線$y=f(x)$が$x$軸と接するのは$a=[エ]$のときである．
(3)$a=[エ]$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，その部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[カ]$である．

関数$y=\sin \theta \cos \theta-\sin \theta+\cos \theta$について考える．以下に答えなさい．

(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表しなさい．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$y$の最大値，最小値と，それらを与える$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．

$\theta$のとる値の範囲が$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である関数
\[ y=\frac{4}{1+\tan^2 \theta}+2 \sin^2 \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta \]
を考える．

(1)$y$の最大値は$[エ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[オ]$である．
(2)$y$の最小値は$[カ]$となり，そのとき$\theta$の値は$[キ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．

図のように$\angle \mathrm{ACB}$が直角である直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle t=\tan \frac{\theta}{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

（図は省略）


(1)$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{b}{a+c}$を$t$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{12}{13}$となる$t$の値を求めよ．

(4)$a,\ b,\ c$を適当に並び換えると等差数列になるときの$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$の値の組をすべて求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．

関数$\displaystyle f(t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (x-t \cos x)^2 \, dx$は，$t=a$（$a$は正の実数）で最小値をとるものとする．$a$を超えない最大の整数の値を求めよ．