次の問いに答えなさい．

(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$f(x)$が
\[ f(x)=x^2+\int_0^\pi f(t) \sin t \, dt \]
をみたすとき，$f(x)$を求めなさい．
(2)等式
\[ f(x)=x^2+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt \]
をみたす関数$f(x)$は存在しないことを示しなさい．

$m \geqq 1$を整数とする．関数$f(x)=(\pi-x) \sin mx (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$となるすべての$x (0 \leqq x \leqq \pi)$の値を，小さい順に$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N)$を$k$と$m$の式で表せ．
(2)$(1)$で定めた$x_k$と$x_{k+1} (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N-1)$に対し，曲線$y=f(x) (x_k \leqq x \leqq x_{k+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} S_k$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．

次のような，一辺の長さが$1$の正八面体を考える．ただし，$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{BC}$の中点である．
（図は省略）

(1)$\cos \angle \mathrm{AMD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AMD}$の面積を求めよ．

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(4,\ 1,\ -1)$を通る平面が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle 1-\cos^2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$を解け．
(3)方程式$3(4^x+4^{-x})-13(2^x+2^{-x})+16=0$を解け．