関数$\displaystyle f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}$，$\displaystyle \log f_2(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_1(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_3(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x f_2(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_4(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_3(t) \, dt$，$\cdots$，
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする．ただし，$\log$は自然対数である．また，
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．さらに，


$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，

$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$，

$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$


とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$f_k(x)$を積分を使わずに表せ（$k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）．
(2)$I_n$を$J$で表せ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
(3)$J$を$K$で表せ．
(4)$I_n$を求めよ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．

$a$を定数とし，関数
\[ f(\theta)=\sin^3 \theta+a \cos 2\theta+\frac{21}{4} \sin \theta \]
は$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{13}{4}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta)$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)関数$f(x)=x-\log x$の最小値を求めよ．
(2)$a$を$1$より大きい定数とし，曲線$\displaystyle y=a \sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=\tan x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$によって囲まれる部分$D$の面積が$1-\log 2$であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] $a$の値を求めよ．
\mon[（イ）] $D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．

$a$を実数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ -1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan \frac{5}{12} \pi$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sqrt{n}<\tan \frac{5}{12} \pi<\sqrt{n+1}$を満たす自然数$n$を求めよ．

関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．

曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle C_2:y=2 \sin x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．

$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を単位ベクトルとし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$とおく．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とし，$x=\cos \theta$とおく．

(1)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の大きさを$x$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角も$\theta$に等しいとき，$\theta$を求めよ．