負でない整数$n$に対して，$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$とする．次の問いに答えよ．

(1)$I_0$と$I_1$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}$であることを示せ．
(3)$I_2$と$I_3$の値を求めよ．

関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める．

$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$

$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$

$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$


(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある．

$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すべての面が合同な正三角形であり，各頂点は$5$つの正三角形に共有されている．

(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて，正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち，頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする．球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ．