「三角比」について
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(193ページ目:全1924問中1921問~1930問を表示)![富山県立大学](./img/univ/toyamakenritsu.png)
負でない整数$n$に対して,$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$とする.次の問いに答えよ.
(1)$I_0$と$I_1$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}$であることを示せ.
(3)$I_2$と$I_3$の値を求めよ.
(1)$I_0$と$I_1$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}$であることを示せ.
(3)$I_2$と$I_3$の値を求めよ.
![和歌山県立医科大学](./img/univ/wakayamakenritsuika.png)
関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める.
$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$
$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$
$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$
(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ,グラフの概形をかけ.
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ,グラフの概形をかけ.
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき,$k(x)$の最大値と最小値,およびそれらをとる$x$の値を求めよ.
$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$
$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$
$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$
(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ,グラフの概形をかけ.
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ,グラフの概形をかけ.
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき,$k(x)$の最大値と最小値,およびそれらをとる$x$の値を求めよ.
![岐阜薬科大学](./img/univ/gihuyakka.png)
次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある.
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また,点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし,半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ.
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{B}_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ.
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また,点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし,半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ.
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{B}_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ.
![岐阜薬科大学](./img/univ/gihuyakka.png)
一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき,次の問いに答えよ.なお,正二十面体は,すべての面が合同な正三角形であり,各頂点は$5$つの正三角形に共有されている.
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ.
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$,頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて,正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ.
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち,頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする.球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ.
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする.$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ.
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ.
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$,頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて,正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ.
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち,頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする.球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ.
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする.$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ.