「三角比」について
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私立 北海道科学大学 2010年 第11問図の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
私立 愛知工業大学 2010年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
私立 北海道科学大学 2010年 第17問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2},\ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，次の値を求めよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=[ ]$
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[ ]$
(1)$\sin \theta+\cos \theta=[ ]$
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[ ]$
私立 東北工業大学 2010年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さはそれぞれ$9,\ 6,\ 5$とする．また，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にはそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さはすべて等しく，その値が$a$であるとする．このとき，
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
私立 日本女子大学 2010年 第1問図のように，$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=10$の四角形$\mathrm{ABCD}$が円$\mathrm{O}$に内接するものとする．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
私立 獨協医科大学 2010年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．
(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[ ] \sqrt{[ ]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2} \left( e^{[ ]}-[ ] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．
(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[ ] \sqrt{[ ]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2} \left( e^{[ ]}-[ ] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．
私立 日本女子大学 2010年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$，$\angle \mathrm{B}=45^\circ$，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\mathrm{AD}=2-\sqrt{3}$，$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$であるとする．
（図は省略）
(1)$75^\circ=45^\circ+30^\circ$を用いて，$\sin 75^\circ$と$\cos 75^\circ$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ADB}$の大きさを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{ADC}$の大きさを求めよ．
（図は省略）
(1)$75^\circ=45^\circ+30^\circ$を用いて，$\sin 75^\circ$と$\cos 75^\circ$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{ADB}$の大きさを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{ADC}$の大きさを求めよ．
私立 日本女子大学 2010年 第3問$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{6},\ b=\tan \frac{\pi}{12}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$x$を実数（ただし$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{4}$）とするとき，$\tan 2x$を$\tan x$の式で表せ．
(2)$a$と$b$の大小を，理由をつけて答えよ．
(1)$x$を実数（ただし$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{4}$）とするとき，$\tan 2x$を$\tan x$の式で表せ．
(2)$a$と$b$の大小を，理由をつけて答えよ．
私立 東京電機大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．
(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．