次の問いに答えよ．

(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．

三角形$\mathrm{ABC}$で，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
\[ \angle \mathrm{A}=60^\circ,\quad b=4c \]
のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{a}{c}$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}$の値を求めよ．

$x,\ y$の動く範囲を$0 \leqq x \leqq 2\pi$，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式
\[ \sin x+\sin y \geqq \cos x+\cos y \]
の表す領域を平面上に図示せよ．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{3} (0^\circ<\theta<90^\circ)$のとき，次の値を求めなさい．

(1)$\sin \theta+\cos \theta$
(2)$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，その面積$S$は$12 \sqrt{5}$に等しく，また$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$c=9$である．ここで$c$は辺$\mathrm{AB}$の長さであり，$A=\angle \mathrm{BAC}$である．

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．

$-\pi<x \leqq \pi$のとき，$y=\cos 2x-3 \cos x-\sin^2 x$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$（ただし$x \neq 0$）において

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=[ア]$である．
(2)$f^\prime(x)=[イ]$である．
(3)$f(0)=[ア]$と定義したとき，$f(x)$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$x=[エ]$のとき$[オ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\sin^3 \theta-\cos^3 \theta$の値を求めなさい．

図において，余弦定理を用いると$\cos \alpha=[　]$である．また，$\sin \beta=[　]$である．
（図は省略）