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私立 自治医科大学 2010年 第17問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle a=2(b-c) \cos \frac{A}{2}$であるとき，$\displaystyle 12 \sin \frac{B-C}{2}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第18問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ 1$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle \sin^2 A=\sin^2 \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$の関係を満たすとき，$a$の値を求めよ．
私立 甲南大学 2010年 第2問$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とし，次の方程式$①$を考える．
\[ (\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta)^4-12 \cos^2 \theta-6 \sqrt{3} \sin 2\theta+2=0 \cdots\cdots① \]
このとき，$x=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$として，以下の問いに答えよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x^2$を$\cos \theta$と$\sin 2\theta$を用いて表せ．
(3)方程式$①$を$x$を用いて表し，得られた方程式をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$①$をみたす$\theta$の値をすべて求めよ．
\[ (\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta)^4-12 \cos^2 \theta-6 \sqrt{3} \sin 2\theta+2=0 \cdots\cdots① \]
このとき，$x=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$として，以下の問いに答えよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x^2$を$\cos \theta$と$\sin 2\theta$を用いて表せ．
(3)方程式$①$を$x$を用いて表し，得られた方程式をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$①$をみたす$\theta$の値をすべて求めよ．
私立 龍谷大学 2010年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$2$次方程式$x^2-3x-1=0$の異なる$2$つの解が$\tan \alpha,\ \tan \beta$であるとき，$\tan (\alpha+\beta)$の値を求めなさい．
(2)$3$点$\mathrm{P}(p,\ 6,\ -12)$，$\mathrm{Q}(-1,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{R}(3,\ r,\ -5)$が一直線上にあるとき，$p$と$r$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)数列$\{a_n\}$を$a_1=7$，$a_{n+1}=-2a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．一般項$a_n$を求めなさい．
(1)$2$次方程式$x^2-3x-1=0$の異なる$2$つの解が$\tan \alpha,\ \tan \beta$であるとき，$\tan (\alpha+\beta)$の値を求めなさい．
(2)$3$点$\mathrm{P}(p,\ 6,\ -12)$，$\mathrm{Q}(-1,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{R}(3,\ r,\ -5)$が一直線上にあるとき，$p$と$r$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)数列$\{a_n\}$を$a_1=7$，$a_{n+1}=-2a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．一般項$a_n$を求めなさい．
私立 龍谷大学 2010年 第2問大きさ$\sqrt{3}$のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさ$2$のベクトル$\overrightarrow{b}$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{4}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{p}=(\cos t) \overrightarrow{a}+(\sin t) \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{q}=(-\sin t) \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}$とするとき，${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$を$t$で表しなさい．
(3)$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲で(2)の${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{p}=(\cos t) \overrightarrow{a}+(\sin t) \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{q}=(-\sin t) \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}$とするとき，${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$を$t$で表しなさい．
(3)$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲で(2)の${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$の最大値と最小値を求めなさい．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$(a,\ b)=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$の小数部分の値は$[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}=[ウ]$である．また，$\mathrm{AD}$を軸とし，$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AB}$に重ねるように$\triangle \mathrm{ADC}$を折り返すとき，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}$上に重なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \angle \mathrm{BDE}=[エ]$である．
(3)$x>0,\ y>0$とする．$\displaystyle \left( x+\frac{5}{y} \right) \left( y+\frac{2}{x} \right)$は，$xy=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．
(4)展開図が半径$r$の円と周の長さが$k$の扇形からなる円錐を考える．このとき円錐の高さは$[キ]$である．また，$k$を一定とすると，$r=[ク]$のとき円錐の表面積が最大になる．ただし，円周率を$\pi$とする．
(5)実数$x,\ y,\ z (xyz \neq 0)$について等式$3^x=2^y=\sqrt{6^{3z}}$が成立しているとき，$x$を$z$で表すと$[ケ]$であり，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を対数を用いないで表すと$[コ]$である．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$(a,\ b)=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$の小数部分の値は$[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}=[ウ]$である．また，$\mathrm{AD}$を軸とし，$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AB}$に重ねるように$\triangle \mathrm{ADC}$を折り返すとき，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}$上に重なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \angle \mathrm{BDE}=[エ]$である．
(3)$x>0,\ y>0$とする．$\displaystyle \left( x+\frac{5}{y} \right) \left( y+\frac{2}{x} \right)$は，$xy=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．
(4)展開図が半径$r$の円と周の長さが$k$の扇形からなる円錐を考える．このとき円錐の高さは$[キ]$である．また，$k$を一定とすると，$r=[ク]$のとき円錐の表面積が最大になる．ただし，円周率を$\pi$とする．
(5)実数$x,\ y,\ z (xyz \neq 0)$について等式$3^x=2^y=\sqrt{6^{3z}}$が成立しているとき，$x$を$z$で表すと$[ケ]$であり，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を対数を用いないで表すと$[コ]$である．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．
(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．
私立 西南学院大学 2010年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=7:5:3$とする．次の問に答えよ．
(1)$A,\ B,\ C$のうち最大の角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$60 \sqrt{3}$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[チツ]$である．また，この三角形の内接円の面積は$[テト]\pi$である．
(1)$A,\ B,\ C$のうち最大の角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$60 \sqrt{3}$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[チツ]$である．また，この三角形の内接円の面積は$[テト]\pi$である．