次の各問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．

行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{a}$，$\mathrm{CA}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \theta$を$a$の式で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるような$a$の値を求めよ．また，このときの外接円の半径$R$と内接円の半径$r$をそれぞれ求めよ．
(3)上の$(2)$が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の弧$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{D}$によってできる四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．ただし，弧$\mathrm{CA}$上には点$\mathrm{B}$がないものとする．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=4$となるようにとる．$\angle \mathrm{BAP}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，$\sin \alpha:\sin \beta$を整数の比で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$3\theta=2\theta+\theta$であることを用いて，$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．
(2)方程式$\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 3\theta=-1$を解け．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$x^3+ax^2+bx+1$を$x-1$で割ると余りは$4$であり，$2x-1$で割ると余りは$\displaystyle \frac{3}{2}$である．このとき$(a,\ b)=[ア]$である．
(2)$1$の数字が書かれたカード$1$枚，$2$の数字が書かれたカード$2$枚，$3$の数字が書かれたカード$2$枚の計$5$枚のカードを並べてできる$5$けたの数字の中で，$23000$より大きいものは$[イ]$個ある．
(3)関数$\displaystyle y=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)-\sin 2x$の最大値は$[ウ]$である．

関数$y=2 \cos^2 x+2 \sin x+a (0 \leqq x \leqq 2\pi)$（$a$は実数）の最小値が$-3$となるとき，$a^2$の値を求めよ．

連立方程式$x+y=8,\ \cos \theta-x \sin \theta=x,\ \sin \theta+y \cos \theta=1$を満たす$y$の解は$2$つある．その$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$の値を求めよ．ただし，$x,\ y$は実数とする．