「三角比」について
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私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=9$のとき，$\cos A$および$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第5問半径1の円Oの中心Oを通る直線上に$\text{OA}=2$となるように点Aを定める．点Aを通り，円Oと2点B，Cで交わるような直線を引き，$\text{AB}=\text{BC}$となるようにしたい．2直線のなす角$\theta = \angle \text{OAB} \ (0^\circ <\theta<30^\circ)$をどのように定めればよいか．次の手順で検討せよ．
(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)線分BCの中点をMとして，線分AMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)同様に，線分BMの長さを$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$\text{AB}=\text{BC}$のとき$\text{AM}= 3\text{BM}$である．これを利用して$\cos \theta$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=9$のとき，$\cos A$および$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第4問$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とし，$\sin \theta+\cos \theta=a$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \theta \cos \theta$と$(\sin \theta-\cos \theta)^2$を$a$を用いて表せ．
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$と$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$，$\sin \theta-\cos \theta$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$\sin \theta \cos \theta$と$(\sin \theta-\cos \theta)^2$を$a$を用いて表せ．
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$と$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$，$\sin \theta-\cos \theta$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値をそれぞれ求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$と$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$12$，最小値が$4$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18$を因数分解せよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$と$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$12$，最小値が$4$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18$を因数分解せよ．
私立 北海学園大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-10<0 \\
2x^2-15x+7 \geqq 0
\end{array} \right.$を解け．
(2)方程式$(\log_2x)^3-3(\log_2x)^2-4 \log_2x=0$を解け．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{A}=45^\circ$，$\angle \mathrm{B}=75^\circ$とするとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．また，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$であることを用いて，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$と，$\tan^2 75^\circ$の値を求めよ．
(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-10<0 \\
2x^2-15x+7 \geqq 0
\end{array} \right.$を解け．
(2)方程式$(\log_2x)^3-3(\log_2x)^2-4 \log_2x=0$を解け．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{A}=45^\circ$，$\angle \mathrm{B}=75^\circ$とするとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．また，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$であることを用いて，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$と，$\tan^2 75^\circ$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{CA}=3$とする．この三角形の外接円の中心を$\mathrm{O}$，辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．ただし，$s,\ t$は実数とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$の式で表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ．
(2)$\mathrm{BC}=4$のとき，$\cos \theta$，$s$，$t$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき，$t$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$の式で表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ．
(2)$\mathrm{BC}=4$のとき，$\cos \theta$，$s$，$t$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき，$t$と$\cos \theta$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第3問関数$f(x)=\cos 2x+2a \cos x (0 \leqq x<2\pi)$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$f(x)$を$\cos x$と$a$の式で表せ．
(2)$f(x)=-3$をみたす$x$の値が$1$つに限るような$a$の値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値を$a$の式で表せ．
(1)$f(x)$を$\cos x$と$a$の式で表せ．
(2)$f(x)=-3$をみたす$x$の値が$1$つに限るような$a$の値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値を$a$の式で表せ．
私立 北海学園大学 2010年 第7問行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．