次の問いに答えよ．

(1)第$n$項が次の式で表される数列の極限を求めよ．
\[ \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})(5^{n+2}+2^{2n-1})}{5^n+2^{2n}} \]
(2)次の関数を微分せよ．$f(x)=\sqrt{\left( \displaystyle\frac{x-1}{x^2+3} \right)^3}$
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin (2x-\frac{\pi}{4}) \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値，および，それらを与える$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点は$4$個あることを示せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)放物線$y=-x^2+4x+8$と$x$軸とで囲まれた図形に内接し，$x$軸上に$2$つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数$5^{2010}$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(4)関数$y=\sin x-\cos x+\sqrt{2} \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

$A$を正定数，角$\theta$を$0^\circ<\theta<45^\circ$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1 = \frac{A\sin \theta}{1+\sin \theta} \]
\[ a_n = \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\}\sin \theta}{1+\sin \theta} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義する。
このとき，次の各間に答えよ．

(1)$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$a_n (n \geqq 3)$を，$a_{n-1}$および$A,\ \theta$を用いて表せ．
(3)初項から第$n$項までの和$S_n = a_1+\cdots+a_n$を，$A,\ \theta$および$n$を用いて表せ．

$\alpha=72^\circ$のとき，$\cos 3\alpha - \cos 2\alpha = [ネ]$であり，$\displaystyle \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{[ノ]+\sqrt{[ハ]}}{8}$である．

底面が正六角形ABCDEFで頂点がOの正六角錐O-ABCDEFがある．底面の辺の長さを$a$，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=\text{OE}=\text{OF}=2a$とする．2つの面$\triangle$OABと$\triangle$OBCのなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_{10} \frac{8}{\sqrt[3]{5.4 \times 10^{-8}}}=[ア]+\frac{[イ]}{[ウ]} \log_{10}2-\log_{10}3$である．
(2)$0 \leqq x<\pi$のとき，$\sin 2x-\sqrt{3} \cos 2x=1$を満たす$x$の値は
\[ x=\frac{\pi}{[エ]},\quad \frac{[オ]}{[カキ]} \pi \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

$b,\ c$を実数とし，$2$次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)$\alpha=\cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在すれば，$b$と$c$は等式$[$1$]$を満たす．
(2)$\alpha=3 \cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在するという条件のもとで，$b$のとりうる最大の値は$[$2$]$であり，このとき$\alpha=[$3$]$，$\beta=[$4$]$である．また，同じ条件のもとで$c$のとりうる最大の値は$[$5$]$であり，このとき$\theta=[$6$]$，$[$7$]$である．ただし，$[$6$]<[$7$]$とする．