次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=x^4-12x^2+8$のとき，$f(x)+f^{\prime\prime}(x)=0$によって表される4次方程式の実数解を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin \frac{19}{12}\pi$の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi x \sin^2 x \, dx$を求めよ．

$2$次方程式$x^2 \sin \theta - x \cos(2\theta) + \sin \theta = 0$が重解をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．

(1)$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\theta$と$\displaystyle \frac{\pi}{12}$の大小を比較せよ．

$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，$C$上の点P$(x,\ y)$と点A$(0,\ a)$の間の距離をAPで表す．次の問いに答えよ．

(1)APを$a$と$y$を用いて表せ．
(2)Pが$C$上を動くとき，$\text{AP}^2$を最小にするPをP$_0$とする．P$_0$が原点Oと異なるような$a$の範囲を求め，そのときのP$_0$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)(2)のP$_0$に対して，$\triangle$OP$_0$Aの内角$\angle \text{OP}_0 \text{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta=2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

原点を中心とする半径1の円を$C_1$とする．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たす定数$\theta$に対して，$C_1$上に点P$(\sin \theta,\ \cos \theta)$，点Q$(-\cos \theta,\ -\sin \theta)$，点R$(-\sin \theta,\ -\cos \theta)$をとる．さらに，Pを中心とし，Qを通る円を$C_2$，Rを中心とし，Qを通る円を$C_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち，Qと異なる点をSとする．このとき，$C_1$はSを通ることを証明せよ．
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点のまわりの角$\alpha$の回転移動$f$を表す行列を$F$とおき，$0^\circ \leqq \beta <90^\circ$として，直線$y=(\tan \beta)x$に関する対称移動$g$を表す行列を$G$とおく．また，合成移動$g \circ f$を表す行列を$H$とおく．

(1)$H$を求めよ．
(2)$\alpha=\alpha_1$のときの$H$を$H_1$，$\alpha=\alpha_2$のときの$H$を$H_2$とするとき，行列の積$H_2H_1$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$\alpha=30^\circ,\ \beta=45^\circ$のときの$(FG)^n$を求めよ．

座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
\[ 1,\quad 1+3+1,\quad 1+3+9+3+1,\quad 1+3+9+27+9+3+1,\quad \cdots \]
の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(3)微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^\prime(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{f(1-\cos 2\theta)}{\theta^2} \]

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \pi (x+\pi) \sin \pi x \, dx$を求めよ．
(2)下の図のように，曲線$y = \pi(x+ \pi) \sin \pi x \ (0 \leqq x \leqq 2n-1)$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$，P$_n$と分けるとき，図形P$_k$の面積$S_k \ (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を$k$の式で表せ．
（図は省略）
(3)(2)の$S_k$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を$n$の式で表せ．

以下の各問に答えよ．

(1)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と対角線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{a}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}$で表すとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}},\ \overrightarrow{\mathrm{AF}},\ \overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)$を次式で定める．
\[ g(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \{ x \cos t+(1-x) \sin t \}^2 \, dt \]
このとき，$g(x)$の最小値を求めよ．