実数$k$を$0<k<2$とし，2曲線
\begin{eqnarray}
& & C_1:y=\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \nonumber \\
& & C_2:y=k\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \nonumber
\end{eqnarray}
を考える．$C_1$と$C_2$および2直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた4つの部分の面積の和を$S(k)$とする．

(1)$S(k)$を求めよ．
(2)$S(k)$の最小値とそのときの$k$を求めよ．

平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．

(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．

平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．

(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．

$0<k<1$である定数$k$について，
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\cos x -k \nonumber \\
& & g(x)=\sin x -k \tan x \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．

(1)$\displaystyle 0<x < \frac{\pi}{2}$で，方程式$f(x)=0$は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(2)$\displaystyle 0<x < \frac{\pi}{2}$で，方程式$g(x)=0$は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(3)(2)での実数解を$\alpha$とする．定積分
\[ \int_0^\alpha g(x) \, dx \]
を$k$の式で表しなさい．

関数$y=\sin^3 x-\cos^3 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x-\cos x = t$とおいて，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値および最小値を求めよ．

原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える．$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Oを中心とする円周上に反時計回りに並んだ5点A，B，C，D，Eがあり，$\angle \text{AOB},\ \angle \text{BOC},\ \angle \text{COD},\ \angle \text{DOE}$はすべて$\theta$に等しい．$\alpha=2\pi-4\theta,\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ t=\cos \theta$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとき，$\alpha$は$\theta$に等しいことを示せ．

右図のような四角形ABCDがある．各辺の長さは，$\text{AB}=11,\ \text{BC}=10,\ \text{CD}=5,\ \text{DA}=4$であり，対角線ACの長さは6である．2つの対角線ACとBDの交点をEとし，$\angle \text{ACB}=\alpha,\ \angle \text{ACD}=\beta$とする．

(1)$\cos \alpha,\ \sin \alpha,\ \cos \beta,\ \sin \beta$の値を求めよ．
(2)$\cos (\alpha+\beta)$の値，および対角線BDの長さを求めよ．
(3)CEの長さを求めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5)等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle 2 \sin k\theta \sin \frac{\theta}{2}=\cos \left( k-\frac{1}{2} \right) \theta - \cos \left( k+\frac{1}{2} \right) \theta$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \sin k\theta$を求めよ．