$\displaystyle y=\sin 2x-x+\frac{\pi}{2}$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sin x \cos x}$
(3)$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_{\log \pi}^{\log (2\pi)} e^x \sin (e^x) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x}(x+1) \, dx$
(7)$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \cos (4x) \, dx$
(8)$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$


\end{spacing}
\vspace*{-6mm}

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{\frac{\pi}{4}-x} \log_4 (1+\tan t) \, dt \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(0)$の値を求めよ．
(3)条件$a_1=f(0),\ a_{n+1}=f(a_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり，また，$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする．線分P$_1$P$_2$の中点をQとし，点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$p$を0でない定数とする．関数$f(x)=ae^{-x}\sin px+be^{-x}\cos px$について，$f^\prime(x)=e^{-x}\sin px$となるように，定数$a,\ b$を定めよ．
(2)$\displaystyle S(t)=\int_0^{t^2}e^{-x} \sin \frac{x}{t} \, dx \ (t \neq 0)$とおく．このとき，$S(t)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{S(t)}{t^3}$の値を求めよ．

関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sin x-2\sqrt{3}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．

$\theta$の関数$f(\theta)=A \sin (\theta + \alpha)$は$f(0^\circ)=1,\ f(90^\circ)=1$をみたしている．ただし，$A>0,\ 0^\circ \leqq \alpha < 360^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$と$\alpha$を求めよ．
(2)$f(\alpha +30^\circ)$と$\sin (\alpha +30^\circ) \cos (\alpha +30^\circ)$を求めよ．
(3)$\theta$の関数$g(\theta)$は
\begin{eqnarray}
& & \{f(\theta)\}^2 g(\theta)-k \{f(\theta)\}^2 = 2\{g(\theta)\}^2 -2kg(\theta)+g(\theta)-\frac{1}{4} \nonumber \\
& & g(\alpha + 30^\circ)=\sin (\alpha + 30^\circ) \cos (\alpha + 30^\circ) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたしている．実数$k$と$g(\theta)$を求めよ．

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sin x \cos x}$
(3)$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_{\log \pi}^{\log (2\pi)} e^x \sin (e^x) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x}(x+1) \, dx$
(7)$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \cos (4x) \, dx$
(8)$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$


\end{spacing}
\vspace*{-6mm}

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{\frac{\pi}{4}-x} \log_4 (1+\tan t) \, dt \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f \left(\frac{\pi}{8} \right)$および$f(0)$の値を求めよ．
(3)条件$a_1=f(0),\ a_{n+1}=f(a_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

四角形ABCDは次の条件を満たす．

\mon[(i)] $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$
\mon[(ii)] $\text{BD}=1,\ \angle \text{ABD}=90^\circ$

線分ACと線分BDとの交点をEとする．線分ABを3等分して，点Aに近い分点をMとし，点Bに近い分点をNとする．$\angle \text{CAB}=\alpha,\ \angle \text{MDN}=\beta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$を求めよ．
(2)$\tan \beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ．