「三角比」について
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国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
国立 奈良女子大学 2010年 第3問曲線$y=2x \sin x \cos x$を$C_1$とし，曲線$y=x \cos x$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第2問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第2問曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第1問曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第3問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問$\triangle$ABCにおいて，次の等式が成立することを示せ．
(1)$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
(2)$\displaystyle \cos A+\cos B+ \cos C=1+ 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(3)$\displaystyle \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C$
(1)$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
(2)$\displaystyle \cos A+\cos B+ \cos C=1+ 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(3)$\displaystyle \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C$
国立 香川大学 2010年 第5問$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{2a(\sin x+\cos x)}{2+2\sin x \cos x - a(\sin x+ \cos x)} \]
と定める．ここで，$a$は$0<a<2$をみたす定数である．このとき，次の問に答えよ．
(1)$t=\sin x+ \cos x$とおくとき，関数$f(x)$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた関数を$g(t)$とするとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$f(x)$が最大値，最小値をとるときのそれぞれの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{2a(\sin x+\cos x)}{2+2\sin x \cos x - a(\sin x+ \cos x)} \]
と定める．ここで，$a$は$0<a<2$をみたす定数である．このとき，次の問に答えよ．
(1)$t=\sin x+ \cos x$とおくとき，関数$f(x)$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた関数を$g(t)$とするとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$f(x)$が最大値，最小値をとるときのそれぞれの$x$の値を求めよ．