「三角比」について
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国立 横浜国立大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を連続関数とするとき，
\[ \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin^3 x}{\sin^2 x+8} \, dx \]
の値を求めよ．
(1)$f(x)$を連続関数とするとき，
\[ \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin^3 x}{\sin^2 x+8} \, dx \]
の値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$0<x<\pi$のとき，
\[ \sin x - x \cos x > 0 \]
を示せ．
(2)定積分
\[ I=\int_0^\pi |\sin x -ax| \, dx \quad (0<a<1) \]
を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)$0<x<\pi$のとき，
\[ \sin x - x \cos x > 0 \]
を示せ．
(2)定積分
\[ I=\int_0^\pi |\sin x -ax| \, dx \quad (0<a<1) \]
を最小にする$a$の値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第3問関数$y = 2 \sin 3x+ \cos 2x-2 \sin x+a$の最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数$a$の値を定めよ．
国立 筑波大学 2010年 第2問3つの曲線
\begin{eqnarray}
& & C_1 : y = \sin x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_2 : y = \cos x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_3 : y = \tan x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
について以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の交点，$C_2$と$C_3$の交点，$C_3$と$C_1$の交点のそれぞれについて$y$座標を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2,\ C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C_1 : y = \sin x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_2 : y = \cos x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_3 : y = \tan x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
について以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の交点，$C_2$と$C_3$の交点，$C_3$と$C_1$の交点のそれぞれについて$y$座標を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2,\ C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第6問関数$\displaystyle y = \frac{\cos x}{e^x} \ (x > 0)$の極大値を，大き方から順に
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の和を求めよ．
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の和を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次方程式$x^2 + (2a-1)x+a^2-3a-4 = 0$が少なくとも1つ正の解をもつような実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)不等式$|2 \sin (x+y)| \geqq 1$の表す点$(x,\ y)$の領域を，$0 \leqq x \leqq \pi,\ 0 \leqq y \leqq \pi$の範囲で図示せよ．
(3)座標平面上に3点A$(2,\ 5)$，B$(1,\ 3)$，P$_1(5,\ 1)$をとる．まず，点P$_1$と点Aの中点をQ$_1$，点Q$_1$と点Bの中点をP$_2$とする．次に，点 P$_2$と点Aの中点をQ$_2$，点Q$_2$と点Bの中点をP$_3$とする．以下同様に繰り返し，点P$_n$と点Aの中点をQ$_n$，点Q$_n$と点Bの中点をP$_{n+1} \ (n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．点P$_n$の$x$座標を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
(1)2次方程式$x^2 + (2a-1)x+a^2-3a-4 = 0$が少なくとも1つ正の解をもつような実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)不等式$|2 \sin (x+y)| \geqq 1$の表す点$(x,\ y)$の領域を，$0 \leqq x \leqq \pi,\ 0 \leqq y \leqq \pi$の範囲で図示せよ．
(3)座標平面上に3点A$(2,\ 5)$，B$(1,\ 3)$，P$_1(5,\ 1)$をとる．まず，点P$_1$と点Aの中点をQ$_1$，点Q$_1$と点Bの中点をP$_2$とする．次に，点 P$_2$と点Aの中点をQ$_2$，点Q$_2$と点Bの中点をP$_3$とする．以下同様に繰り返し，点P$_n$と点Aの中点をQ$_n$，点Q$_n$と点Bの中点をP$_{n+1} \ (n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．点P$_n$の$x$座標を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第1問直角三角形$\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{C}$が直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺$\mathrm{BC}$の長さが3以上の素数$p$であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．
国立 東京大学 2010年 第1問Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第1問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で関数$f(x)=\cos x \sin^2 x$と$g(x)=\cos^3 x$を考える．次の問に答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第4問関数$f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\sin \pi x \phantom{0} \ (0 \leqq x \leqq 1) \\
0 \phantom{\sin \pi x} \ (x<0,\ x>1)
\end{array}
\right.$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 f \left( \frac{t}{3} -x \right)\, dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 g(t) \, dt$を求めよ．
\begin{array}{l}
\sin \pi x \phantom{0} \ (0 \leqq x \leqq 1) \\
0 \phantom{\sin \pi x} \ (x<0,\ x>1)
\end{array}
\right.$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 f \left( \frac{t}{3} -x \right)\, dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 g(t) \, dt$を求めよ．