連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す1次変換$f$によって，点P$_1(1,\ 0)$が点P$_2(0,\ 3)$に移され，点P$_2$が点P$_3$に，点P$_3$が点P$_1(1,\ 0)$にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数である．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(3)O$(0,\ 0)$とする．点P$(\cos \theta,\ \sin \theta)$が$f$によって点Qに移されるとする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き，その上半分を$C$とし，その両端をA$(-1,\ 0)$，B$(1,\ 0)$とする．$C$上の2点N，Mを$\text{NM}=\text{MB}$となるように取る．ただし，$\text{N} \neq \text{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．

座標空間において，中心がA$(0,\ 0,\ a) \ (a>0)$で半径が$r$の球面
\[ x^2+y^2+(z-a)^2 = r^2 \]
は，点B$(\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ a)$と点$(1,\ 0,\ -1)$を通るものとする．次の問いに答えよ．

(1)$r$と$a$の値を求めよ．
(2)点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$f(x) = 1- \cos x-x \sin x$とする．

(1)$0<x< \pi$において，$f(x) = 0$は唯一の解を持つことを示せ．
(2)$\displaystyle J =\int_0^{\pi} | f(x) | \, dx$とする．(1)の唯一の解を$\alpha$とするとき，$J$を$\sin \alpha$の式で表せ．
(3)(2)で定義された$J$と$\sqrt{2}$の大小を比較せよ．

実数$a$に対し，関数
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．