次の問いに答えよ．

(1)$3$次式$x^3+ax^2+bx+c$を$x-1$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$1,\ \cos \theta,\ \sin \theta$であるとき，$a,\ b,\ c$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)において，$\theta$が区間$[0,\ 2\pi]$を動くとき，点$(a,\ b)$が描く曲線を図示せよ．

$xy$平面上に2点
\[ \text{A}(3\cos t,\ 3\sin t), \text{B}(-\sin 3t,\ \cos 3t) \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
がある．次の問いに答えよ．

(1)原点をOとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{6}$になる$t$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(3)三角形OABの面積の最大値を求めよ．

$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$が半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n$，円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．

(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．

$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．

(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$のそれぞれの大きさを$A,\ B,\ C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．

曲線$C_1:y=p \cos x$，$C_2:y=q \sin x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ p>0,\ q>0$である．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p,\ q$で表せ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p,\ q$で表せ．
(3)$p,\ q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．

座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{ax} \int_0^x |\cos (x-t)| \, dt \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底とし，$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$を満たす$x$に対して，
\[ I(x)=\int_0^x |\cos (x-t)| \, dt \]
を求めよ．
(2)関数$f(x)$が区間$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$において極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$が2つの区間$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$と$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$のどちらの区間においても極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

$xy$平面上において，媒介変数$t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$によって$x=2(1+\cos t)\cos t,\ y=2(1+\cos t)\sin t$と表される下図の曲線について次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$x$の最大値，最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を求めよ．
(3)この曲線で囲まれる図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$(1)$，$(2)$の問いに答えよ．また，$(3)$から$(5)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int x \sin x^2 \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^2 xe^x \, dx=[ロ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}=[ハ] \]
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$3 \sin x+\cos 2x+1=0$のとき，$x=[ニ]$である．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のとき，$(A+B)(A-B)=[ホ]$である．
(5)Oを原点とする座標空間に2点A$(1,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ 2,\ 0)$をとる．このとき，$\cos \angle \text{AOB}=[ヘ]$，$\triangle$AOBの面積は[ト]である．