次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．

(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)女子$5$人，男子$3$人が横$1$列に並ぶとき，女子が両端にくるような並び方は何通りあるか．また，女子$5$人が続いて並ぶような並び方は何通りあるか．
(2)放物線$y=x^2+ax+b$は$2$点$\mathrm{A}(0,\ -3)$，$\mathrm{B}(2,\ 5)$を通る．このとき，この放物線と$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}(-2,\ -3)$を通る直線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$8 \cos^4 x-16 \cos^2 x-6 \sin^2 x+9=0$を解け．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-2>0 \\
2x-6 \leqq 0
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$x^3-4x^2+5x+2$を$x-4$で割った余りは$[$2$]$である．
(3)$f(x)=x^2+ax+b,\ g(x)=x^2+2ax+b$とする．放物線$y=g(x)$の頂点の座標が$\displaystyle \left( \frac{8}{3},\ \frac{26}{9} \right)$であるとき，$a=[$3$]$，$b=[$4$]$である．また，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた図形の面積は$[$5$]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{12}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=2$のとき，$\mathrm{AC}^2=[$6$]$，$\sin^2 A=[$7$]$である．
(5)$2$次方程式$3x^2+2x+15=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[$8$]$，$\displaystyle \frac{\alpha+i \beta}{\alpha-i \beta}-\frac{\alpha-i \beta}{\alpha+i \beta}=[$9$]$である．
(6)$1$から$15$までの異なる$15$個の自然数の中から，$4$個の異なる数をとって組を作る．このとき，偶数だけからなる組は$[$10$]$通りあり，偶数を少なくとも$1$個含む組は$[$11$]$通りある．

$0^\circ \leqq \theta \leqq 45^\circ$のとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\cos^2 \theta}-2 \tan \theta-1$について，次の問いに答えなさい．

(1)この関数の最大値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．
(2)この関数の最小値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$2x^3-16$を因数分解しなさい．
(2)$\sqrt{7-\sqrt{48}}$の二重根号をはずして簡単にしなさい．
(3)不等式$x-4<-3x+2 \leqq x+6$を解きなさい．
(4)$2$次方程式$3x^2-6x+1=0$の実数解の個数を求めなさい．
(5)$\tan \theta=-3 (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(6)$6$人の生徒を$2$人ずつ$3$組に分ける分け方は何通りあるか求めなさい．

以下の問に答えよ．

(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[　]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．

(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問に答えよ．

(1)$\sin^2 B+\sin^2 C=\sin^2 A$のとき，$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin^2 B+\sin^2 C>\sin^2 A$のとき，$\angle \mathrm{A}$が鋭角であることを証明せよ．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\cos 2\theta-(2+\sqrt{3}) \cos \theta+(1+\sqrt{3})=0$を解きなさい．