$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$[ア]$であり，そのときの最小値は$[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{O}$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=[ウ]$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$[エ]$である．
(3)$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=[オ]$であり，そのときの虚数解は，$x=[カ]$である．
(4)$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^\prime(-1)=[キ]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[ク]$である．
(5)$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{5}{6} \pi$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{6} \right)-\cos 2\theta$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a,\ b$を実数（$a \neq b$）とする．$2$つの$2$次関数
\[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \]
の最小値が同じであるとき，$a$を用いて$b$を表すと$b=[ア]$である．このとき，$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$[イ]$である．

(2)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=[ウ]$である．$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$，$(2,\ 3)$の像が，それぞれ，$(-3,\ 5)$，$(-8,\ 12)$であるとき，行列$C$を求めると$C=[エ]$である．
(3)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$，$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし，$a=\cos \alpha$，$b=\cos \beta$とする．$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$であり，$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=[カ]$である．
(4)$k$を正の実数とする．直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$k$の値の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは，$k=[ク]$のときである．
(5)$5$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=[ケ]$である．また，$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき，$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=[コ]$である．

$-\pi \leqq x \leqq \pi$の範囲で関数
\[ f(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x-1 \]
を考える．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

関数$\displaystyle y=2 \sin 2\theta+3 \sin^2 \theta+1+2 \cos^2 \frac{\theta}{2}+2 \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$について，次の問に答えよ．なお，$t=2 \sin \theta+\cos \theta$とする．

(1)$y$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最小値を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

以下の$[あ]$から$[お]$にあてはまるものを答えよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．

$2$つの関数
\[ f(x)=2e^{-x} |\sin x|,\quad g(x)=\sqrt{2}e^{-x} \]
を考える．方程式$f(x)-g(x)=0 (x \geqq 0)$の解を小さいものから順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．

(1)次の$[さ]$から$[す]$にあてはまるものを記入せよ．

(i) $x_k=[さ] (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(ii) $a,\ b$を定数とする．
\[ \frac{d}{dx} \{e^{-x}(a \sin x+b \cos x)\}=2e^{-x} \sin x \]
が成り立つのは，$a=[し]$，$b=[す]$のときである．

(2)$\displaystyle S_n=\int_{x_{2n-1}}^{x_{2n}} (f(x)-g(x)) \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．

(i) $S_1$を求めよ．
(ii) $S_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．