関数
\[ f(x)=\frac{1}{2}x+\int_0^x (t-x) \cos t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x t \cos t \, dt$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値を求めよ．

角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$を満たすとき，次の$\theta$の関数を考える．
\[ y=\sin 3\theta +6 \cos 2\theta-6 \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \cos \theta+12 \sin \theta \]
以下の問に答えなさい．空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表すと
\[ y=-[ケ]x^3-[コサ]x^2+[シス]x+[セ] \]
となる．
(2)(1)の$3$次関数を利用すると，$y$の最大値は$[ソ]$であり，最小値は$[タ]$であることが分かる．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AD}$の長さは，それぞれ$3,\ 4$で，$\angle \mathrm{ABC}$は$60^\circ$であるとする．辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とおく．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．以下の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．

(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき

$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$

$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$

である．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを入れよ．

行列$M$を$M=\left( \begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array} \right)$で定める．このとき
\[ M=\sqrt{2} \left( \begin{array}{cc}
\cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi & -\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi \\ \\
\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi & \cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi
\end{array} \right) \]
である．
次に$\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=M^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおき，点$(a_n,\ b_n)$を$\mathrm{P}_n$で表す．このとき点$\mathrm{P}_n$と原点$\mathrm{O}$との距離は$[ウ]^{\frac{n}{2}}$である．またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \theta=\frac{[エ]}{[オ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
$3$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+2}$を頂点とする三角形の面積は$[カ] \times [キ]^{n-1}$である．
ただし
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array} \right) \]
となることは使ってよい．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．

関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標空間内に点$\mathrm{P}(s+3,\ 2s-1,\ 2s+1)$と点$\mathrm{Q}(2s+3,\ 1-2s,\ s-1)$がある．ただし，$s$は実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \sqrt{[ア] \left( [イ]s^2-[ウ]s+[エ] \right)} \]
であり，$\displaystyle s=\frac{[オ]}{[カ]}$のときに最小値$\sqrt{[キ]}$をとる．

(2)$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta=\angle \mathrm{POQ}$とする．$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよう．$k=\cos \theta$とおくと
\[ k=\frac{[クケ]s+[コ]}{[サ]s^2+[シ]s+[スセ]} \cdots\cdots (*) \]
である．

(i) $\displaystyle s=-\frac{[コ]}{[クケ]}$のとき$k=0$となる．
(ii) $k \neq 0$のときに$(*)$を満たす実数$s$が存在するための条件は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq k \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より$\cos \theta$のとる値の範囲は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq \cos \theta \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．また，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[チ]}{[ツ]}$となるのは$\displaystyle s=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{9} \right)^x-12 \left( \frac{1}{3} \right)^x+40 (-3 \leqq x \leqq -1)$を考える．$-3 \leqq x \leqq -1$のとき，$\displaystyle t=\left( \frac{1}{3} \right)^x$のとりうる値の範囲を求めると$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値$m$とそのときの$x$の値を求めると$(m,\ x)=[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．方程式$\cos 2\theta+3 \cos \theta-1=0$を解くと$\theta=[ウ]$である．また，方程式$\displaystyle \log_3 (\sqrt{3} \tan \theta+1)+\log_3 (\cos \theta)=\frac{1}{2}$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$2x^3-ax^2-2x+a$を因数分解すると$[オ]$である．また，$P(x)=2x^3-ax^2-2x+a$，$Q(x)=-x^2+(2a-1)x+2a$とおくとき，すべての正の$x$について$P(x)-Q(x)>0$が成立するような$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が半径$4$の円に内接し，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{3} \mathrm{DA}$とする．このとき，$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=[キ]$であり，$\mathrm{DA}$の長さを求めると$\mathrm{DA}=[ク]$である．