「三角比」について
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私立 自治医科大学 2011年 第9問$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$(\sin^3 \theta-\cos^3 \theta)^2$の値を$b$とする．$\displaystyle \frac{256b}{25}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第10問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$について考える（$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする）．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$4 \sqrt{6}$である．辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{BC}$の長さが，それぞれ，$1$，$5$であり，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{5}$となるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．ただし，辺$\mathrm{CD}$の長さは辺$\mathrm{AD}$の長さより大きいものとする．
私立 自治医科大学 2011年 第11問直線$x-4y+3=0$と直線$5x-3y-10=0$とのなす角を$\displaystyle \theta (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$とするとき，$(\sin \theta-\cos \theta)^2$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第12問関数$y=2 \cos \theta-\sin^2 \theta+2 (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$Mm$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第5問半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{1}{2}$とする．$\gamma$が$\gamma>0^\circ$かつ$\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．
(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第2問$a$を正の実数とする．関数$y=\sin 2x+2a(\sin x+\cos x)+1$は，$0 \leqq x<2\pi$で定義されている．$t=\sin x+\cos x$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 2x$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を求めよ．
(1)$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 2x$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．
(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．
(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．
(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
私立 東北学院大学 2011年 第3問関数
\[ y=2 \sin^3 x+2 \cos^3 x+3(\sin x+\cos x-4) \sin 2x+18 \sin x+18 \cos x-12 \]
$(0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x+\cos x$とおくとき，$t$の動く範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ y=2 \sin^3 x+2 \cos^3 x+3(\sin x+\cos x-4) \sin 2x+18 \sin x+18 \cos x-12 \]
$(0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$t=\sin x+\cos x$とおくとき，$t$の動く範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．