関数$\displaystyle y=3 \cos^2 x-\cos 2x+\sin x \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について考える．

(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．

以下の$[ア]$から$[ツ]$にあてはまる数字または式を記入せよ．

(1)数列
\[ \frac{1}{1+2},\ \frac{1}{1+2+3},\ \frac{1}{1+2+3+4},\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$で表すと
\[ a_{40} = \frac{1}{[ア][イ][ウ]} \]
であり，
\[ \sum_{n=40}^{80} a_n = \frac{[エ]}{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また線分$\mathrm{AB}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{a}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{b},$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b},$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{a}+\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{b}$


となる．

(3)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+6x^2}-1}{\sin^2 x}=[テ]$
(4)$\comb{n}{5}$が$5$の倍数となるような整数$n$は，$100 \leqq n \leqq 125$の範囲に$[ト]$個ある．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \mathrm{BC}=4,\ \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{3},\ \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{5}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

(2)$\displaystyle \sin B=\frac{[セ]}{[ソ]}, \sin C=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(3)$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．

$0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+2\sin^2 x}+\frac{1}{1+\cos^2 x}$の最大値と最小値，およびそれらの値をとるときの$x$の値を求めよ．

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$であるとき，$2 \cos^2 \theta+(\sin \theta+3 \cos \theta)^2$の最小値は$[ト]$で，最大値は$\sqrt{[ナ]}+[ニ]$である．

$x,\ y$は，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{3}$，$\displaystyle 0<y<\frac{1}{3}$を満たす実数とする．$x=b$，$y=c$のとき，
\[ \begin{array}{l}
\log_xy+\log_yx=2 \\
2 \log_x \sin \{ \pi (x+y) \}=\log_x \sin (\pi y)+\log_y \cos (\pi x)
\end{array} \]
を満たす．$12b$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta -\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{3} (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$のとき，$6(\sin \theta+\cos \theta)$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{B}=2 \theta$，$\angle \mathrm{C}=\theta$とする．$\angle \mathrm{B}$の二等分線が辺$\mathrm{CA}$と交わる点を$\mathrm{D}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AD}=x$とするとき，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さを$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さを$l$とするとき，$l$の値の範囲を求めよ．