「三角比」について
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国立 香川大学 2011年 第3問曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第4問ふたつの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．
(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第4問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
国立 山口大学 2011年 第1問$a$を実数とし，
\[ I=\int_0^\pi (x+a\cos x+a^2 \sin x)^2 \, dx \]
とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$I$を$a$の式で表しなさい．
(2)$\displaystyle I>\frac{\pi}{2}a^4$であることを示しなさい．
\[ I=\int_0^\pi (x+a\cos x+a^2 \sin x)^2 \, dx \]
とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$I$を$a$の式で表しなさい．
(2)$\displaystyle I>\frac{\pi}{2}a^4$であることを示しなさい．
国立 熊本大学 2011年 第1問四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d,\ \mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y \]
とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\cos \mathrm{A},\ \cos \mathrm{B},\ \cos \mathrm{C},\ \cos \mathrm{D}$を$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，
\[ xy=ac+bd \]
が成り立つことを示せ．
\[ \mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d,\ \mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y \]
とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\cos \mathrm{A},\ \cos \mathrm{B},\ \cos \mathrm{C},\ \cos \mathrm{D}$を$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，
\[ xy=ac+bd \]
が成り立つことを示せ．
国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
国立 佐賀大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
国立 九州工業大学 2011年 第1問$a,\ b$を正の実数とし，関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=3x-2a \sin x \cos x,\ g(x)=x^2+b \cos^2 x -b$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．