次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x) = a \cos^2 x+2b \cos x \; \sin x+c \sin^2 x$が定数となるための$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(2)関数
\[ g(x) = 4 \cos^2 x+2 \cos x \; \sin x+ \sin^2 x -\frac{5}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}) \]
が最大値をとる$x$の値を$\theta$とする．$\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$g(x)$と$\theta$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^\theta g(x) \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をOとし，Oを中心とする半径OBの円を$S$，円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする．点Pは円$S$の内部にあり，線分BC上にないものとする．円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$は
\[ a_{n+1} = \frac{2a_n}{1-a_n^2},\quad n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$とするとき，$a_{10}$および$a_{11}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a_1 = \tan \frac{\pi}{7}$とする．$a_k = a_1$をみたす$2$以上の自然数$k$で最小のものを求めよ．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \; \cos nx \; dx$\quad ただし，$m,\ n$は自然数である．
(2)$\displaystyle \int_1^3 \left(x-\frac{1}{x} \right) (\log x)^2 \, dx$

$n$を自然数とし，
\[ S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n \pi} e^{-x} (| \sin x |+1) \; dx \]
とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$e^{-x}(\sin x+ \cos x)$を微分せよ．
(2)$S_n$および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．

実数$x$に対して
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} | \cos t - x \sin 2t | \, dt \]
とおく．

(1)関数$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_0^\pi e^x \cos x \, dx$と$\displaystyle J=\int_0^\pi e^x \sin x \, dx$の値を求めよ．
(2)実数$a,\ b$が
\[ \int_0^\pi (a\cos x +b \sin x)^2 \, dx = 1 \]
をみたしながら動くとき
\[ \int_0^\pi (e^x-a\cos x-b \sin x)^2 \, dx \]
の最大値を求めよ．