$2$つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．

(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．

$k$を定数とする．関数$f(\theta)=\cos 2\theta+4k \sin \theta+3k-3$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．

五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{3\pi}{4}$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$が成り立つとする．$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AC}$を$m:1-m$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<m<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$で表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BOP}$を求めよ．
(3)$\displaystyle m \neq \frac{1}{4}$のとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めよ．

三角形ABCにおいて$\angle \text{A}=\theta,\ \angle \text{B}=2\theta$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\lceil \ \cdot \ \rfloor$はベクトルの内積を表す．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}$を，$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)次式が最大となるときの$\cos \theta$を求めよ．
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} \]
(3)$\angle \text{B}$の二等分線と辺ACとの交点をDとしたとき，次式を満たす$\theta$を求めよ．
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{DB}}||\overrightarrow{\mathrm{DA}}|} \]

$a$を，$a>0$かつ$a \neq 1$を満たす実数とし，
\[ F_a(x) = \int_0^x a^t \sin 2\pi t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq 1) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)次式が成り立つことを示せ．
\[ F_a(x)=\frac{2\pi+a^x \{ (\log a) \sin 2\pi x - 2\pi \cos 2\pi x \}}{4\pi^2+(\log a)^2} \]
(2)$F_a(x)$の最大値を，$a$を用いて表せ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，
\[ A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array} \biggr) \]
となることを数学的帰納法で示せ．
(2)$\theta=20^\circ$のとき，$A^m=E$となる最小の自然数$m$を求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$である．
(3)$\theta=20^\circ$のとき，(2)で求められた$m$を用いて
\[ A+A^2+\cdots +A^m \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \cos^3 x \, dx$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_a^{a+\pi} |x| \cos x \, dx$を求めよ．ただし，$a$は実数とする．

座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．\\
$\displaystyle (\text{i}) \int \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}} \, dx \qquad (\text{ii}) \int \sin^9 x \cos x \, dx \qquad (\text{iii}) \int \sin^9 x \cos^3 x \, dx$
(2)次の極限値を求めよ．$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=0$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の等式$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin t \cos (x-t) \, dt=a \sin x+ b \cos x$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)連続な関数$f(x)$と0でない実数$\alpha$は$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(t) \cos (x-t) \, dt=\alpha f(x)$を満たしている．$f(0)=f^\prime(0)=1$であるとき，$\alpha$と$f(x)$を求めよ．