$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円において，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上にあり，$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$である．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$のとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

不等式$a \cos^2 x+8 \cos x+1 \geqq 0$が$x$の値によらず常に成り立つような$a$の最小値を求めよ．

一辺$10 \, \mathrm{cm}$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．頂点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AE}$とし，$\mathrm{DE}$の延長が辺$\mathrm{BC}$と交わった点を$\mathrm{F}$とする．このとき次の値を求めなさい．

(1)垂線$\mathrm{AE}$の長さ
(2)$\cos \angle \mathrm{AFD}$の値
(3)正四面体の体積

図のように，円$x^2+y^2=m^2$（ただし，$m \geqq 1$）と，直線$y=x$および直線$y=-x+1$の交点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の値を$m$を用いて求めなさい．

(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$
(2)$\mathrm{BD}$の長さ
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$
（図は省略）

三角形$\mathrm{ABC}$の角$\mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=x$とおく．$\mathrm{BD}=3$，$\mathrm{CD}=2$のとき，
\[ \cos \angle \mathrm{B}=\frac{x^2+[ア][イ]}{[ウ][エ]x} \]
である．さらに$\mathrm{AD}=2$であるならば
\[ \cos \angle \mathrm{B}=\frac{[オ] \sqrt{[カ][キ]}}{[ク]} \]
である．

実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で二つの曲線$y=\sin x$と$y= k \cos x$を考える．ただし，$k>0$とする．この二つの曲
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

次の各問に答えよ．

(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．