以下の問の$[$50$]$～$[$63$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

関数$\displaystyle y=-4a \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \sin 2\theta-4 \cos 2\theta-6a \sin \theta+2a+10$がある．

(1)$3 \sin \theta-\cos \theta=t$とおくと，$y=t^2-[$50$]at+[$51$]$である．
(2)$a$の値の範囲が$-5<a<5$のとき，この関数の最大値$y_{\max}$のとりうる値の範囲は
\[ [$52$][$53$] \leqq y_{\max}<[$54$][$55$]+[$56$][$57$] \sqrt{[$58$][$59$]} \]
である．
(3)この関数の最小値が$-15$であるとき$\displaystyle a=\pm \frac{[$60$] \sqrt{[$61$][$62$]}}{[$63$]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$(19 \times 25) \times (21 \times 16)$を計算せよ．
(2)$a^2-b^2-1+2b$を因数分解せよ．
(3)式$(\sin {20}^\circ+\cos {20}^\circ)^2+(\sin {110}^\circ+\cos {110}^\circ)^2$の値を求めよ．
(4)縮尺$\displaystyle \frac{1}{2000}$の地図で，縦$5 \, \mathrm{cm}$，横$0.6 \, \mathrm{cm}$の長方形の土地の実際の面積は何$\mathrm{m}^2$かを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さを$x$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$3$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$4$とする．また，$\angle \mathrm{BCA}$を$\theta$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$0^\circ<\theta<{180}^\circ$であることを用いて，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の直径が$5$であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．
(5)$5^{4 \log_5 2}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．

以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

$x$の方程式について次の問いに答えよ．

(1)$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+bx+1=0$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．
(2)$x$の方程式$\sin x=a (0 \leqq x<2\pi)$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．
(3)$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{2} \sin^2 x+b \sin x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．

座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$を計算せよ．

(2)$x^3-x^2-4x+4$を因数分解せよ．
(3)$0^\circ<\theta<{60}^\circ$のとき，$\cos ({180}^\circ-\theta)$の値の範囲を求めよ．
(4)$\mathrm{BC}=3$，$\angle B={135}^\circ$である$\mathrm{ABC}$において，外接円の半径が$3$のとき，$\angle A$の大きさを求めよ．

直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=2$である．図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{B}$における接線上に$\mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\cos \angle \mathrm{CBD}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{CD}$の$\mathrm{C}$を越える延長と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\triangle \mathrm{BDE}$の面積を求めよ．